LA DERIVADA

1.0 Reglas básicas de derivación

Al proceso para encontrar la derivada se le llama diferenciación.
La derivada puede calcularse mediante la razón de cambio promedio como lo indica su definición o utilizando la siguiente regla:

si una función es: f(x) = axⁿ
su derivada es: f '(x) = anx^n-1

ejemplo: f(x) = 2x²
f '(x) = 4x



1.1 Reglas Básicas

a) Para una constante "a" :

f(x)= 10 f '(x) = 0


b) Para la función de identidad f(x) = x :

f(x) =x , su derivada es f '(x) = 1


c) Para una constante "a" por una variable "x" :

f(x) = 10x f '(x) =10


d) Para una variable "x" elevada a una potencia "n" :

f(x) = x⁵ f '(x) = 5x⁴


e) Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"

f(x) = 3x⁴ f '(x) = 12x³


f) Para una suma de funciones:

f(x) = 4x³ + 2x² f '(x) = 12x² + 2x


g) Regla de producto:

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación e polinomios, como por ejemplo:

f(x)= uv , su derivada es, f '(x) = u'v + uv'


f(x) = (3x³ + 4) (5x² - 3) ; u' = 9x² v'= 10x

f '(x) = 9x²(5x²-3) + (3x³ + 4) 10x
f '(x) = 45x⁴ - 27x² + 30x⁴ + 40x
f '(x) = 75x⁴- 27x² + 40x


h) Regla del cociente:

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por una división de polinomios, ejemplo:

f(x) = u/v , su derivada es , u'v - uv' /v²

f(x) = 2x³ + 3 / 3x⁴ - 5 ; u'= 6x² v' = 12x³
f '(x)= 6x²(3x⁴ - 5) - (2x³ + 3) (12x³) / (3x⁴ - 5)²
f ' (x) = 18x⁶ - 30x² - 24x⁶ + 36x³ / (3x⁴ - 5)²
f ' (x) = -6x⁶ + 36x³ - 30x² / (3x⁴ - 5)²


i) Regla de la cadena:

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a un potencia, por ejemplo:
f(x) = uⁿ , su derivada es , f '(x) = n(u)^n-1 (u')
f'(x)= (2x³ + 3)⁵
f'(x) = 5 (2x³ + 3)⁴ (6x²)
f'(x) = 30x² (2x³ + 3)⁴