LINEA TANGENTE

Si una función es derivable en un punto entonces la gráfica de la función tiene una tengente de dicho punto, cuya pendiente es m= f '(x1)

La línea tangente es la recta que toca un punto de la curva. Punto de tangencia es el punto común de la curva y de la línea tangente.

*ejemplo A: cuando se nos presentan 3 datos: la función, el punto x, el punto y.

función f(x) 5x2 + 7x + 8

tangencia (2,4) ; (x,y)

1. Derivar la función:

f '(x) = 10x + 7

2. Sustituir el punto de x en la función derivada:

f '(2) = 10(2)+ 7

f '(x) = 27

m =27

3. Sustituir el punto tangencia en la ecuación punto pendiente:

y-y1 = m(x -x1)

y-4 = 27 (x -2) y = 27x - 54 + 4

Ecuación de la línea tangente: y= 27x - 50

*ejemplo B: determinar la línea tangente de una función derivada en la que nos aporte sólo 2 datos.

f(x)= x2 - 2x + 4 en x = 3

1. Como no tenemos el punto de y, debemos sustituir x en la función f (3)

f(3) = 32 - 2(3) + 4

f (3) = 9 -6 + 4

f (3) = 7

y=7

2. Derivamos la función. f '(x) = x2 - 2x +4

f ' (x) = 2x -2

3. Sacamos m :

f ' (3) = 2(3) - 2

f '(3) = 6-2

m= 4

4. Sustituir el punto de tangencia en la ecuación punto pendiente.

y- y1 = m (x -x1)

y -7 = 4 (x -3) y = 4x - 12 + 7

Ecuación de la tangente: y = 4x - 5

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

En algunas ocasiones es necesario calcular la derivada de una derivada; estas son llamadas derivadas de orden superior.


Para determinar una derivada de orden superior se calcula la derivada de la primera función, luego calculo la derivada de la primera derivada, y asi sucesivamente derivada hasta llegar a la derivada deseada.


La notacion común utilizada para las derivadas de orden superior es la Siguiente:


* Primer derivada dy / dx = f '(x) = y'
* Segunda derivada d²y/dx² = f ''(x) =y''
* Tercera derivada d³y/dx³ = f '''(x) =y'''
* Cuarta derivada d⁴y/dx⁴ = f ⁽⁴⁾ (x) = y ⁽⁴⁾
* Enesima derivada dⁿy/ dxⁿ = f ⁽ⁿ⁾ (x) = y ⁽ⁿ⁾

LA DERIVADA

1.0 Reglas básicas de derivación

Al proceso para encontrar la derivada se le llama diferenciación.
La derivada puede calcularse mediante la razón de cambio promedio como lo indica su definición o utilizando la siguiente regla:

si una función es: f(x) = axⁿ
su derivada es: f '(x) = anx^n-1

ejemplo: f(x) = 2x²
f '(x) = 4x



1.1 Reglas Básicas

a) Para una constante "a" :

f(x)= 10 f '(x) = 0


b) Para la función de identidad f(x) = x :

f(x) =x , su derivada es f '(x) = 1


c) Para una constante "a" por una variable "x" :

f(x) = 10x f '(x) =10


d) Para una variable "x" elevada a una potencia "n" :

f(x) = x⁵ f '(x) = 5x⁴


e) Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"

f(x) = 3x⁴ f '(x) = 12x³


f) Para una suma de funciones:

f(x) = 4x³ + 2x² f '(x) = 12x² + 2x


g) Regla de producto:

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación e polinomios, como por ejemplo:

f(x)= uv , su derivada es, f '(x) = u'v + uv'


f(x) = (3x³ + 4) (5x² - 3) ; u' = 9x² v'= 10x

f '(x) = 9x²(5x²-3) + (3x³ + 4) 10x
f '(x) = 45x⁴ - 27x² + 30x⁴ + 40x
f '(x) = 75x⁴- 27x² + 40x


h) Regla del cociente:

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por una división de polinomios, ejemplo:

f(x) = u/v , su derivada es , u'v - uv' /v²

f(x) = 2x³ + 3 / 3x⁴ - 5 ; u'= 6x² v' = 12x³
f '(x)= 6x²(3x⁴ - 5) - (2x³ + 3) (12x³) / (3x⁴ - 5)²
f ' (x) = 18x⁶ - 30x² - 24x⁶ + 36x³ / (3x⁴ - 5)²
f ' (x) = -6x⁶ + 36x³ - 30x² / (3x⁴ - 5)²


i) Regla de la cadena:

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a un potencia, por ejemplo:
f(x) = uⁿ , su derivada es , f '(x) = n(u)^n-1 (u')
f'(x)= (2x³ + 3)⁵
f'(x) = 5 (2x³ + 3)⁴ (6x²)
f'(x) = 30x² (2x³ + 3)⁴